II. Herleitung

Wie kann man der Keplerschen Fassregel mathematischen Halt verleihen?

Nun, stellen wir uns zunächst vor, das Fass wäre eine einfache Tonne, hätte also einen geraden anstatt eines gewölbten seitlichen Randes. Dann wäre das Volumen dieses Körpers einfacher zu berechnen, nämlich als das Produkt aus der kreisförmigen Grundfläche A und der Höhe h. 
Die Grundfläche wiederum ergibt sich aus dem Produkt des Quadrats des Radius r mit der Kreiszahl Pi:  
Das Volumen V wäre demnach: 

Wie aber berechnet sich das Volumen eines Fasses, das ja einen Bauch und keinen geraden Rand hat?

Wir bedienen uns eines einfachen, in der Mathematik oft angewandten Tricks: Wir reduzieren das Problem zunächst auf ein einfacheres, eines welches wir schon ohne große Mühe lösen können, nämlich auf die oben erwähnte Tonne; allerdings betrachten wir unsere Tonne nun auf eine andere Weise: wir stellen sie nicht mehr auf, sondern wir legen sie auf die Seite, oder noch besser: wir hängen sie entlang ihrer Mitte auf, so dass die Seiten nun parallel zum Boden liegen. Zum Aufhängen benutzen wir keine Schnur, sondern die x-Achse eines Koordinatensystems zwischen den Stellen r (Mitte des Fassdeckels) und s (Mitte des Fassbodens). Den Anfangs- und den Endpunkt des Bogens nennen wir entsprechend R bzw. S. 
Den Radius r der Tonne drücken wir über eine Funktion f aus, dann errechnet sich das Volumen nun als 

Stellen wir uns die Tonne aber einmal nicht als aufgehängten Körper vor, sondern als den Raum, den ein um die x-Achse rotierendes Rechteck, dessen unterer Rand die x-Achse und dessen oberer Rand die Strecke RS bildet, einnimmt. So merken wir schnell, dass es die Fläche des Rechteckes ist, die das Volumen des Rotationskörpers", also in unserem Falle des Fasses, bestimmt. Die sogenannte Keplersche Fassregel" gibt uns den Inhalt solcher Flächen an.

Wie ersetzen wir unsere Tonne nun wieder durch das Fass?

Gerade dabei ergibt sich allerdings ein Problem: Mit einer geeigneten Funktion f können wir zwar leicht den gewölbten Rand des Fasses nachzeichnen, um so zu einer geeigneten Rotationsfläche zu gelangen. f(x) gibt uns den Radius des Fasses aber nur an einer einzigen Stelle (nämlich an der Stelle x) an. Daher unterteilen wir den Bogen, den die Funktion f nachzeichnet, in zwei Abschnitte. Idealerweise wählen wir die halbe Höhe des Fasses als Trennstelle, die Stelle nennen wir m, den entsprechenden Punkt auf dem Bogen (bzw. dem Fassrand) nennen wir M. Dann verbinden wir die Punkte R und M sowie M und S jeweils durch Strecken, um den Bogen grob schematisiert nachzeichnen zu können.

Zwar verlieren wir durch die "Schematisierung" (man sagt in der Mathematik: "Approximation" oder "Annäherung an die Kurve") an Genauigkeit, dafür können wir die erhaltene Rotationsfläche des manipulierten Fasses leicht errechnen: Beide Abschnitte stellen je ein Trapez dar, dessen Flächeninhalt A gleich dem Produkt aus der Länge der Grundseite, also in unserem Fall der halben Höhe h des (stehenden) Fasses, und der mittleren Höhe des Trapezes. 
 
Analog erhalten wir für den zweiten Abschnitt den Flächeninhalt:  
Beide zusammen ergeben die Rotationsfläche der gesamten Figur: 

Bei der Schematisierung ist die Rotationsfläche und damit auch unser Fass etwas zu klein geraten, da die Strecken RM und MS unterhalb des Bogens verlaufen.

Können wir diesen Fehler wieder etwas ausgleichen?

Als Ausgleich zu dem Verlust an Rotationsfläche, der bei der Schematisierung entstanden ist, gibt es ein weiteres Verfahren, mit dem man die Fläche unterhalb des Bogens ebenfalls schematisiert darstellt; hierbei wird die Fläche aber vergrößert, was als Ausgleich zum Verlust beim ersten Verfahren dienen soll: 
 Es ist einfacher, aber auch ungenauer als das erste Verfahren, denn wir wählen diesmal als Rotationsfläche einfach das Rechteck der Höhe f(m) zwischen den Stellen a und b, das also genau so lang ist wie das (stehende) Fass hoch; der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist demnach: 

Es bleibt die Frage, wie wir beide Verfahren miteinander kombinieren sollen.

Nun, da das erste Verfahren um den Faktor 2 genauer ist, denn hier haben wir das Fass zur Schematisierung in zwei Abschnitte unterteilt, verrechnen wir es einfach mit dem zweiten, bei dem wir das gesamte Fass sozusagen in einem Abschnitt schematisiert haben, in der Wertigkeit 2 zu 1: 

Bei der erhaltenen Näherungsformel handelt es sich um die "Keplersche Fassregel".

Um aber das Volumen eines Fasses zu berechnen, müssen wir noch weiter überlegen, denn diese Keplersche Fassregel gibt uns ja offensichtlich nur die halbe Querschnittsfläche eines Fasses an, nicht aber dessen Volumen.

Wie berechnet man also das Volumen nach Kepler?

Nun, wir vollziehen wieder jeden Schritt beider Näherungen nach: 
Bei der ersten Näherung erhalten wir zwei Trapeze. Lassen wir diese um die x-Achse rotieren, so erhalten wir je einen Kegelstumpf. Das Volumen eines Kegelstumpfes erhält man aus, wobei R und r die Radien, h die Höhe des Kegelstumpfes sind :  
Bei unseren beiden Trapezen wären das also  
und 

Beide zusammen ergeben wieder unsere erste Näherung: 

Um die zweite Näherung zu erhalten, lassen wir das umschriebene Rechteck rotieren und bekommen so einen Zylinder bzw. eine Tonne. Deren Flächeninhalt errechnet sich als , wobei r der Radius und h die Höhe ist. In unserem Beispiel wäre f(m) der Radius, das Volumen der zweiten Näherung folglich : 

Verrechnen wir wieder beide Näherungen in der Wertung 2:1 miteinander, so erhalten wir als endgültige Näherung für das Volumen :

 

Für den Spezialfall f(r) = f(s) ergibt sich dann:

 

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