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Die Kodierungstheorie

I. Verbindung zu Kepler

In der Kodierungstheorie fanden Keplers Berechnungen der maximalen Dichte von Kreisanordnungen und Kugelpackungen Anwendung.

Diese Berechnungen besagten Folgendes:

Es gibt keine mögliche Anordnungsform von gleich großen Kugeln, die eine größere mittlere Dichte aufweist als die kubisch-flächenzentrierte Packung und die hexagonale Packung. Die mittlere Dichte dieser Packungen ist etwas größer als 74 Prozent.


Zur Erklärung:

kubisch-flächenzentrierte Packung =
hier befinden sich mathematische Punkte in den Ecken von gedachten Würfeln.
Bsp.:
Kugelpackung

hexagonale Packung =
die Grundfläche dieser Anordnung ist immer ein regelmäßiges Sechseck
Bsp.:
Kugelpackung

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II. Was versteht man unter der Kodierungstheorie?

Die Kodierungstheorie ist eine sehr junge Wissenschaft. Ausgangspunkt war die Pionierarbeit von Claude E. Shannon aus dem Jahr 1948: „A mathematical Theory of Communication”.


Im Prinzip geht es bei der Kodierungstheorie um Folgendes:
Kodierungstheorie
Es wird versucht Daten über einen Kanal so zu vermitteln, dass eventuell auftretende Übertragungsfehler ausgeglichen werden können.
Hierzu werden fehlererkennende und fehlerkorrigierende Kodes (=Kanalkodes) entworfen und angewandt (=Kodierung), die im Anschluss an die Übertragung wieder möglichst korrekt durch den Empfänger entschlüsselt werden (=Dekodierung).

Zu Beachten gilt aber zum einen, dass die zu übertragende Datenmenge aus Geschwindigkeitsgründen möglichst klein bleiben sollte und zum anderen, dass die Methoden die Übertragung so sicher wie möglich machen.
(Mit Sicherheit ist hier nur in weniger bedeutendem Maß die Sicherung vor Entschlüsselung durch Unbefugte gemeint, viel mehr geht es darum, dass der Datentransport vor physikalisch ungewollten Einflüssen geschützt ist.)
Diesen optimalen Mittelweg zu finden, zwischen Einfügen von Zusatzinformationen (-> Dateninflation) zur Fehlerkorrektur und Datenkompression für die schnelle Übertragung macht einen ganz besonderen Reiz der Kodierungstheorie aus.


Des Weiteren beschäftigt sie sich damit, Daten effizient zu speichern (=Datenkompression).


Zusammenfassend lässt sich also das Ziel der Kodierungstheorie als Streben nach einer Erhöhung der Zuverlässigkeit im elektrischen Datenverkehr formulieren.

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III. Details der Kodierungstheorie

Die Kodierungstheorie wird häufig auch algebraische Kodierungstheorie genannt. Hiervon kann man sich auch schon ableiten, dass viele Bereiche der Kodierungstheorie auf die Algebra gestützt sind.
Weitere Methoden, die verwendet werden kommen aus der Zahlentheorie, der endlichen Geometrie oder der Kombinatorik (alles Teilgebiete der Mathematik).

Wie bereits erwähnt beruht das Prinzip der Sicherung darin, dass Zusatzinformationen eingefügt werden, die Fehler vermeiden, beziehungsweise korrigieren.


Einige Begriffe der Kodierungstheorie:

Symbole:
werden gewählt, haben eine endliche Anzahl, ihnen werden die Bestandteile der Ursprungsnachricht zugeordnet

Alphabet des Kodes:
Menge der Symbole

Kode:
gibt eine eindeutige Zuordnung der Bestandteile (z.B. Buchstaben oder Ziffern) der ursprünglichen Nachricht zu den Symbolen an

Binärcode:
Bezeichnung für einen Kode mit nur zwei verschiedenen Symbolen (z.B.: 1/0 oder wahr/falsch)

Beispiel: ASCII-Kode (wird verwendet bei Textdarstellung für Computer; gesendet, empfangen und verarbeitet werden nur Zahlenfolgen)

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IV. Anwendungsgebiete der Kodierungstheorie

Die Kodierungstheorie wird in sehr vielen Gebieten des täglichen Lebens angewandt. Fast jeder hat im Alltag mit Dingen zu tun, die erst durch die Kodierungstheorie in dem Maße, wie wir sie genießen möglich sind.


Hier nur einige Beispiele:

Musik-CDs:
Richtiger Musikgenuss wird nur dadurch gewährleistet, dass eventuelle physische Schäden wie Kratzer auf der CD mit Hilfe der Methoden der Kodierungstheorie ausgeglichen werden.
(trifft auch auf das allgemeine Speichern von Daten auf CDs zu.)

Mobiltelefone:
Wer hätte schon gerne ein unschönes Knacken und Rauschen in der Leitung? Auch diese Fehler werden so entdeckt und korrigiert. Ohne diese Methoden wäre das Telefonieren mit Handys undenkbar.

Weltraum:
Sowohl die Kommunikation mit Objekten im Weltraum, als auch das Übertragen von Satellitenbildern wäre schlichtweg unmöglich.

Fernsehen:
Auch hier das gleiche Spiel: Ohne die Methoden der Fehlerkorrektur gäbe es sowohl Bilder als auch Töne voller Störungen.


Die Kodierungstheorie ist also für sämtliche Anwendungen und Geräte, die auf die Übermittlung oder Speicherung digitaler Daten basieren, relevant. Denn hier ermöglichen die entwickelten Methoden das Aufspüren und Beseitigen der auftretenden Fehler.

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V. Ein Beispiel aus der Kodierungstheorie

Folgende Aufgabe konnten wir als kleines Beispiel für Aufgaben, die bezüglich der Kodierungstheorie gestellt werden finden:


Bei einem Referat werden zwei Zuhörer beobachtet. In jeder Minute wird ihr Aufmerksamkeitsgrad durch Notieren eines Zahlenkodes festgehalten. Dabei bedeutet 0, dass beide schlafen, 1, dass nur der erste schläft, 2, dass nur der zweite schläft und 3, dass beide zuhören. Der Beobachtende ist Informatiker, kennt also nur die Ziffern 0 und 1. Wie lassen sich die vier Beobachtungen mit diesen beiden Ziffern kodieren?
Ein naheliegender Weg ist der Binärkode, wie in der Tabelle zu sehen. So werden jeweils zwei Ziffern geschrieben, es werden also durchschnittlich 2 Bit benötigt. Ist eine effizientere Kodierung denkbar?
Sind alle vier Beobachtungen gleichwahrscheinlich, so ist dieser Kode optimal. Wenn sie jedoch den in der Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten gehorchen, dann kann eine Kodierung gefunden werden, die im Durchschnitt weniger Bit benötigt.

Bsp Kodierungstheorie

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