Astronomie

 

Die Drei Keplerschen Gesetze

I. Einleitung

Johannes Keplers Gesetze aus den Jahren 1609 (Gesetz 1 und 2) und 1619 (Gesetz 3) beschreiben die Bewegungen der Planeten – und anderer Objekte – um die Sonne und stellen damit die erste wissenschaftlich korrekte Beschreibung dieser Bewegungen dar.
Er veröffentlichte sie in seinen beiden Werken „Astronomia Nova" (Neue Astronomie) und „Harmonices Mundi" (Weltharmonik).
BraheMöglich gemacht wurden ihm diese Berechnungen durch die ausgezeichneten Beobachtungsergebnisse des dänischen Astronomen Tycho Brahe, dessen Mitarbeiter Kepler von 1600 bis zum Tod Tychos war. Brahe ging den Eigenheiten des Planeten Mars nach und so konnte Kepler mit den Beobachtungen von dessen stark exzentrischer Bahn eine verbesserte Theorie über die Form der Umlaufbahnen aufstellen.


Historisches

Kepler widmete sich mit seiner Forschung nach der Planetenbewegung einem seit dem Altertum ungelösten Problem. Schon damals machte man sich Gedanken über das richtige Weltbild. Der griechische Astronom und Mathematiker Ptolemäus (ca. 155 n. Chr.) Epizykelstellte ein lange Zeit bestehendes Weltbild auf, demzufolge die Planeten sich auf Kreisbahnen um die ruhende Erde bewegen sollten. Doch schon zu Zeiten der Antike fiel den Wissenschaftlern auf, dass sich die Schleifenbewegungen – die man erkennen kann, wenn man die von der Erde aus beobachteten Bewegungen der Planeten unseres Sonnensystems relativ zum Fixsternhimmel aufzeichnet – nicht mit dieser Theorie erklären lassen. Also bediente man sich einiger „Hilfskonstruktionen“: Man versuchte diese Bewegungen damit zu erklären, dass jeder Planet auf einer kleinen Kreisbahn, dem so genannten Epizykel („Hilfskreis“), rotiere, dessen Mittelpunkte auf einer Bahn, dem so genannten Deferent („Hauptkreis“), um die Erde kreise. Um die Planetenbewegung aber nun wiedergeben zu können musste man bis zu 40 Epizykel einführen, wodurch die Theorie recht kompliziert wurde, die Mängel und Widersprüchlichkeiten aber immer noch nicht vollständig behoben werden konnten.
Revolutionär war dann die Idee des polnischen Astronoms Nikolaus Kopernikus zu Beginn des 16. Jahrhunderts: Sein Weltbild sah vor, dass alle Planeten – auch die Erde – um die Sonne kreisen (heliozentrisches Weltbild), die Erde werde nur vom Mond umkreist. Doch auch seine Theorie stimmte nicht mit dem Schauspiel am Himmel überein und so griff auch Kopernikus auf Epizykel zurück.
Diese Schwierigkeiten, ein passendes Weltbild zum realen Himmelsbild zu finden, rühren von den Fehleinschätzungen bezüglich der Art und Weise der Bewegung der Planeten. So korrigierte und verbesserte Johannes Kepler das kopernikanische System mit seinen „Kreisbahnen“, indem er die ellipsenförmige Bewegung der Planeten um die Sonne feststellte, mit deren Hilfe sich die Planetenbahnen verstehen lassen.

 

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II. Das Erste Gesetz

 

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.


Kepler selbst formulierte diese Tatsache folgendermaßen:

„Die Sache liegt daher einfach so: Die Planetenbahn ist kein Kreis; sie geht auf beiden Seiten allmählich herein und dann wieder bis zum Umfang des Kreises im Perigäum [erdnächster Punkt der Mondbahn] hinaus. Eine solche Bahnform nennt man ein Oval."


Zur Erklärung: Was ist eine Ellipse?

Eine Ellipse ist eine geschlossene ebene Kurve mit einem Mittelpunkt und zwei Brennpunkten. Für jeden Punkt auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten konstant. Die Ellipse wird durch zwei Achsen beschrieben: die große Achse, die durch die beiden Brennpunkte verläuft und die kleine Achse, die senkrecht zur großen steht und durch den Mittelpunkt geht. Die Ellipse ist sowohl zu den beiden Achsen, als auch zum Mittelpunkt symmetrisch.

Erstes Gesetz

Erläuterung zum Gesetz:

Kepler stellte also wie gesagt fest, dass die von Planeten (P) beschriebene Umlaufbahn um die Sonne der geometrischen Figur der Ellipse gleicht. Die Sonne (S) steht hierbei in einem der beiden Brennpunkte (S und B). Wichtige Punkte auf der elliptischen Planetenumlaufbahn sind außerdem das Aphel (Ap, der sonnenfernste Punkt) und das Perihel (Pe, der sonnennächste Punkt). Diese beiden Punkte sind die Schnittpunkte der großen Achse mit der Umlaufbahn.

Für die Beziehungen der Strecken gelten die selben Regeln wie in jeder Ellipse:

  • Abstände PB + PS = konstant und zwar:
  • Abstände PB + PS = Länge ApPe
  • Verhältnis MS / MB = Exzentrizität (der Umlaufbahn)


Heute weiß man zum einen, dass das erste Gesetz exakt gilt, wenn man statt der Sonne den Schwerpunkt des Systems Sonne-Planet in den Brennpunkt der Bahnellipse setzt, aber zum anderen auch, dass die Ellipsen nicht wirklich geschlossen sind, sondern auf Grund relativistischer Effekte Abweichungen aufweisen.

 

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III. Das Zweite Gesetz

 

Die Verbindungslinie Sonne - Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fläche.


Kepler selbst meinte dazu:

„Unvollkommenes, jedoch für die Sonnen- oder Erdbahn ausreichendes Verfahren zur Berechnung der Gleichungen auf Grund der physikalischen Hypothese. Da ich mir bewußt war, daß es unendlich viele Punkte auf dem Exzenter [außerhalb des Mittelpunktes liegende angebrachte Steuerungsscheibe] und entsprechend unendlich viele Abstände gibt, kam mir der Gedanke, daß in der Fläche des Exzenters alle diese Abstände enthalten seien."

Zweites Gesetz

Erläuterung zum Gesetz:

Dieses Gesetz, das auch Flächensatz genannt wird, sagt aus, dass die gerade Linie, die den Mittepunkt des Planeten mit dem Mittelpunkt der Sonne verbindet, der sogenannte Radiusvektor, in gleichen Zeitabständen gleiche Flächen überstreicht. Daraus folgt, dass sich die Planeten schneller bewegen, je näher sie an die Sonne kommen.
Zwischen den Positionen der Planeten P und P’ bzw. P2 und P2’ liegen jeweils die gleichen Zeitabstände. Die Flächen, die ihre Radiusvektoren überstreichen sind – wie es das Gesetz besagt – gleich. Man kann also deutlich erkennen, dass die Strecke, die der Planet an Position P2 in dieser Zeit zurückgelegt hat größer ist und damit auch seine Geschwindigkeit höher als die vom Planet an Position P sein muss.

Erklären lässt sich die Beschleunigung der Planeten in Sonnennähe damit, dass die Anziehungskraft der Sonne stärker wird, je näher man ihr kommt und diese Anziehungskraft wird durch die ihr entgegengerichtete Zentrifugalkraft ausgeglichen.

Auch dieses Gesetz gilt exakt, wenn man statt der Sonne den Schwerpunkt des Systems Sonne-Planet in den Brennpunkt der Bahnellipse setzt.

Das Zweite Keplersche Gesetz ist physikalisch äquivalent mit dem Drehimpuls-Erhaltungssatz.


Zur Erklärung: Was ist der Drehimpuls-Erhaltungssatz?

Der Drehimpuls, der von der Drehgeschwindigkeit abhängig ist, beschreibt die Drehbewegung eines Körpers. Seine Richtung fällt mit der Drehachse zusammen, um welche die Rotation erfolgt. Der Drehimpuls-Erhaltungssatz besagt nun, dass der Drehimpuls nur durch das Einwirken äußerer Kräfte verändert werden kann. Solange keine Kräfte oder nur Zentralkräfte (Kräfte, die auf ein räumlich feststehendes Zentrum zeigen) wirken, ändert sich der Drehimpuls zeitlich nicht und bildet so eine Erhaltungsgröße des Systems.
Der Drehimpuls der Erde ist zeitlich konstant, da die auf die Erde wirkende Gravitationskraft eine Zentralkraft (sie ist stets auf den Sonnenmittelpunkt gerichtet) darstellt. Aus diesem Grund liegt die Umlaufbahn der Erde in einer räumlich festen Ebene.

 

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IV. Das Dritte Gesetz

 

Das Verhältnis aus den 3. Potenzen der großen Halbachsen und den Quadraten der Umlaufzeiten ist für alle Planeten konstant.

(Kepler nannte die großen Halbachsen noch „mittlere Entfernung“ von der Sonne.)


Kepler selbst formulierte es folgendermaßen:

„Allein es ist ganz sicher und stimmt vollkommen, daß die Proportion, die zwischen den Umlaufzeiten irgendzweier Planenten besteht, genau das Anderthalbe der Proportion der mittleren Abstände, d.h. der Bahnen selber, ist."

außerdem fügte er hinzu:
„Meine Absicht dabei ist, aufzuzeigen, daß die Himmelsmechanik nicht einem göttlichen Gefüge, sondern eher einem Uhrwerk verglichen werden muß... insofern nämlich, als all die vielfältigen Bewegungen mittels einer einzigen, recht einfachen magnetischen Kraft erfolgen, wie bei einem Uhrwerk alle Bewegung durch ein schlichtes Gewicht bewirkt werden.”


Zum Vergleich:

Drittes Gesetz

Erläuterung zum Gesetz:

Kepler nannte die großen Halbachsen noch „mittlere Entfernung“ von der Sonne.
Mit diesem Gesetz stellt er eine Beziehung zwischen den Umlaufzeiten T1 und T2 von zwei Planeten und ihren Abständen von der Sonne a1 und a2 her:


Daraus folgt, dass ein Planet für seinen Umlauf um die Sonne mehr Zeit benötigt, je weiter er von ihr entfernt ist. Sonnenferne Planeten haben also geringere mittlere Bahngeschwindigkeiten als sonnennähere Planeten.
Der große Vorteil, der sich daraus ergibt, ist, dass man nun eine Möglichkeit gefunden hat, mit Hilfe der leicht zu ermittelnden Umlaufzeiten der Planeten deren relative Abstände von der Sonne zu berechnen.

Bei diesem Gesetz vernachlässigte Kepler jedoch sowohl die Massen m1 und m2 der Planeten, als auch die Masse M der Sonne. Korrekterweise lautet das Gesetz:


Da die Masse der Sonne aber im Vergleich zu den Planetenmassen sehr groß ist, kann dieser Faktor vernachlässigt werden, solange die Massenunterschiede der Planeten nicht all zu enorm sind.

Kombiniert man nun Keplers Gesetz mit Newtons Gravitationsgesetz erhält man unmittelbar die Umlaufzeit T eines Planeten um die Sonne:


(wobei G = Gravitationskonstane)

So beträgt beispielsweise die Umlaufzeit der Erde um die Sonne nach diesem Gesetz:

 

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V. Bedeutung der Gesetze

Die Keplerschen Gesetze entkräfteten die bisherigen Vorstellungen der Planetenbewegung und leiteten somit diesbezüglich ein regelrecht neues Zeitalter für die Astronomie ein. So äußerte sich der französische Mathematiker, Astronom, Literat und erste Bürgermeister von Paris Jean Sylvain Bailly in „Histoire de l’Astronomie moderne“ (Geschichte der modernen Astronomie) über Kepler wie folgt: Bailly

„Il est le véritable fondateur de l’astronomie moderne, et c’est un présent que a Germaine a fait à l’Europe.“
(„Er ist der wirkliche Begründer der modernen Astronomie, und das ist ein Geschenk, welches Deutschland Europa gemacht hat.“)


Ferner spielten diese Gesetze eine große Rolle für das Gravitationsgesetz von Sir Isaac Newton. Die Kraft, die im Gravitationsfeld der Sonne auf die Planeten wirkt, zwingt die Planeten dazu, um die Sonne zu laufen. Auch sind sie wichtig für das Verständnis der Umlaufbahnen des Mondes und künstlicher Satelliten.


Bis heute haben die Keplerschen Gesetze in einigen Bereichen eine große Bedeutung. So navigieren Raumsonden im Prinzip noch immer nach diesen elementaren Lehrsätzen. Außerdem lassen sich die Keplerschen Gesetze auch allgemein auf andere Systeme übertragen, in denen sich Körper um ein Schwerkraft-Zentrum bewegen.

 

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